Wolfram 高等数学输入方法大全

极限、导数、积分等数学表达式的Wolfram输入全攻略

求极限

普通极限

lim sin2x/(e^x-1), x->0

单侧极限

• lim arctan(1/x) as x->0+
• lim exp(1/x) as x->0-

x 趋于无穷大：oo

• lim x^2sin(3/x^2)) , x->oo
• lim arctan(x), x->-oo

求导数

一阶导数

derivative 记号

• derivative of (2x^2+3)sin(x)
• derivative (2x^2+3)sin(x)

分式记号

d/dx (2x^2+3)sin(x)

撇记号

((2x^2+3)sin(x))'

求一点的导数

• derivative of (2x^2+3)sin(x) at x=3
• d/dx (2x^2+3)sin(x) at x=3
• ((2x^2+3)sin(x))' at x=3

二阶导数

• second derivative of sin(2x^2+3)
• 2nd derivative sin(2x^2+3)

撇记号

• (sin(2x^2+3))''

三阶导数

(sin(2x^2+3))'''

10 阶导数

• 10th derivative 1/(1+x)
• d^10/dx^10(1/(1+x))

特殊点处的导数

x=1 处的 2 阶导数

(exp(x)cos(2x^2))'' at x=1

0 处的 7 阶导数

7th derivative of 1/(1+x) at 0

参数方程的导数

$x=2t^2, y=sint$ 的导数 (dy/dx)

(sin(t))'/(2t^2)'

$x=sin2t, y=cost$ 在 $t=\frac{\pi}{6}$ 处的导数

(cost)'/(sin2t)' at t=pi/6

隐函数的导数

方程 $y=1-xe^y$ 的导数(dy/dx)

-( d/dx( 1-x*exp(y)-y ) )/( d/dy( 1-x*exp(y)-y ) )

函数特征

求方程的根

解方程求根（包括复根）

solve x^3+1.1*x^2+0.9*x-1.4=0

只求实根(real root)

real root x^3+1.1*x^2+0.9*x-1.4=0

求函数的驻点

驻点：stationary point

stationary point of x^3-2x+3

求二元函数的驻点

• stationary point of x^3-y^3+3*x^2+3*y^2-9*x
• maximize x^3-y^3+3*x^2+3*y^2-9*x

求函数的极值

极小值：local min

local min x/(x^2+2)

极大值：local max

local max x/(x^2+2)

求指定区间内的极大值

local max 2sin(2x)^2-(5/2)cos(x/2), x=0 to pi

求二元函数的极值

local max x^3-y^3+3*x^2+3*y^2-9*x

求条件极值

求函数 xy 在 x+y=1 上的最大值

maximize xy on x+y=1

两个约束条件

• maximize xyz on 2*(x*y + y*z + z*x) =1, x>0,y>0,z>0
• maximize sqrt(x^2+y^2+z^2) on z=x^2+y^2 and x+y+z=1

求梯度

用 grad 或 del 求梯度

二元函数的梯度

grad x^2+cos(2y)

三元函数的梯度

del x^2y+cos(xy)+xyz^2

求方向导数

derivative of x^2+cos(2y) in the direction (2,-3) at (1,2)

求函数的最值

求指定区间内的最小值

global min of 2sin(2x)^2-(5/2)cos(x/2)^2 for 1<=x<=3

求二元函数的最值

minimize 2(xy+2/x+2/y) for x>0, y>0

求曲线的拐点

(拐点：inflection point)

inflection point of x/(x^2+2)

积分

求不定积分

(积分：integrate)

• integrate x^2+sin(x)+1
• int xarctan(x)

  int：integrate 的简写

求定积分

• integrate x^2+sin(x)+1 from 0 to 1
• int 1/sqrt(1-x^2) , x= 0 ..1/2

求广义积分

无穷大用两个 o 表示：oo

• int xexp(-2x) from 0 to oo
• int 1/(x^2+3) , x= -oo .. oo

积分变限函数

积分上限函数

integrate texp(-t) from 0 to x

积分上限函数求导

d/dx ( int texp(-t) from 0 to x )

求积分变限函数

F(x)==integrate texp(-t) from ln(x) to x^2

积分变限函数求导

d/dx (integrate texp(-t) from ln(x) to x^2 )

二重积分

int x^2y+x, y=2..4, x=1..3

先 y, 后 x

int xy , x=1..2, y=1..x

先 x, 后 y

int xy , y=-1..2, x=y^2..y+2

三重积分

积分次序:z,y,x

int x , x=0..1, y=0..(1-x)/2, z=0..1-x-2y

面积、体积

曲线与$x$轴之间的面积

曲线$y=2-x^2$与$x$轴之间的面积

area between 2-x^2 and x-axis

曲线下方的面积

曲线$y=3-x^2$与$x$轴之间的面积

area under 3-x^2

求两曲线之间的面积

曲线$y=x$与$y=x^2$之间的面积

area between x and x^2

求两曲线的交点

曲线$y=x^2$与$y=x^3$的交点

solve x^2 = x^3

求两曲线之间的面积

曲线$y=sinx$与$y=cos2x$ $(0<x<\pi)$ 之间的面积

area between sin(x) and cos(2x) from x=0 to pi

旋转体的体积

曲线$y=sinx (0<x<2)$ 与$x$轴之间的区域绕$x$轴旋转

V=pi*Integrate (sin(x)^2, x=0..2)

曲线$y=x$与$y=sinx (0<x<pi)$之间的区域绕$x$轴旋转

V=pi*Integrate (x^2-sin(x)^2, x=0..pi)

求曲线的弧长

曲线 $y=x^2 (1<x<3)$的弧长

int sqrt(1+ ( (x^2)' )^2), x=1..3

参数曲线 $x=sin(t^3), y=t(-1<t<1)$ 的弧长

int sqrt( (sin(t^3))' ^2+(t)'^2 ), t=-1..1

向量

向量的点积

(1,2,4) . (-2,3,6)

向量的叉积

叉积：cross

(1,2,4) cross (-2,3,6)

向量函数的导数 (速度)

(t^2, 4t-3, 2t^2-6t)'

向量函数的二阶导数 (加速度)

(t^2, e^t, 2t^3)''

偏导数

求偏导数

对 x 求偏导数

d/dx sin(x^2+2y)

对 y 求偏导数

d/dy sin(x^2+2y)

在某一点的偏导数

d/dx sin(x^2+2y) at (1,2)

高阶偏导数

对 x 的二阶偏导数

d/dx d/dx x^3*y^2 - 3*x*y^3 - x*y + 1

混合偏导数

d/dy d/dx x^3*y^2 - 3*x*y^3 - x*y + 1

隐函数的偏导数

方程$e^z=xyz$的偏导数 (dz/dx)

-( d/dx( exp(z)-xyz ) )/( d/dz (exp(z)-xyz) )

多项式

级数求和

等比级数求和

sum 3*(2/5)^n, n=1..oo

p-级数求和

用 sum 求和

sum 1/n^2, n=1..oo

交错级数求和

sum (-1)^(n+1)/n^2, n=1..oo

幂级数的和函数

sum (-1)^(n+1)*x^(2n-1)/(2n-1),n=1...oo

函数的泰勒公式

xsinx 在 x=0 处的 5 阶泰勒公式

series：级数

series xsin(x) to order 5

e^x 在 x=1 处的 5 阶泰勒公式

taylor：泰勒

taylor e^x at x=1 to order 5

微分方程

y’=2xy

求特解

y’=e^(2x-y), y(0)=0

二阶微分方程的特解

(1+x^2)y’’=2xy’, y(0)=1, y’(0)=3

二阶微分方程的通解

y’’-5y’+6y=xe^(2x)

二阶微分方程的特解

y’’+y+sin(2x)=0, y(pi)=1, y’(pi)=1

作图

一元函数图形

作图：plot plot y=x^3-x^2-x+1, x=-2..2

两条曲线

plot xsinx,arctanx

隐函数的图形

plot x^3+y^3=6xy

指定范围

plot x^3+y^3=6xy, x=-4..4, y=-4..4

两条曲线

plot x^2+y^2=2x, x=y^3+1

参数曲线

parametric plot : 参数方程作图

parametric plot (t(1-sint),tcost) from t=-10 to 10

参数方程

x=t(1-sint), y=tcost

极坐标曲线

polar plot: 极坐标作图

polar plot 1+cost, t=0..2pi

曲面作图

• plot x^2+y^2, -2<x<2, -2<y<2
• plot sqrt(2-x^2-3y^2)